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Angewandte Funktionalanalysis: Motivationen und Methoden für by Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Visit Amazon's Christiane

By Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Visit Amazon's Christiane Tammer Page, search results, Learn about Author Central, Christiane Tammer,

In diesem Lehrbuch werden die f?r die Wirtschaftsmathematik, insbesondere f?r die Optimierungstheorie, Stochastik und Numerik, erforderlichen Grundlagen der Funktionalanalysis in einer anschaulichen shape mit Bez?gen zu den entsprechenden Anwendungen in jedem Kapitel dargestellt. Dabei wird eine Untergliederung entsprechend der f?r die Wirtschaftsmathematik relevanten Haupts?tze der Funktionalanalysis, wie Baire's Kategoriesatz, Approximations- und Projektionssatz, Hahn-Banach-Theorem, Fixpunktaussagen und KKM-Theorem und Variationsprinzipien, vorgenommen.

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50) lim x0 − x j = inf x0 − y . j→∞ y∈M Dann muss die Folge beschränkt sein. 12 angewendet. 9 in M liegt. 11 ist die Norm schwach folgen-unterhalbstetig. 51) inf x0 − y = limk→+∞ x0 − x jk ≥ x0 − x ≥ inf x0 − y . y∈M y∈M Der folgende Satz gilt für separable Banach-Räume. Ein Banach-Raum X heißt separabel wenn es in X eine abzählbare dichte Teilmenge gibt, also eine Folge, die zu jedem x ∈ X eine Teilfolge enthält, die gegen x konvergiert. Die Separabilität im folgenden Satz ist notwendig, vgl. dazu Alt [6], S.

Die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. 10 Es seien (H, ·|· ) ein Hilbert-Raum und {en } ein vollständiges ONS (vgl. 1) in H. Dann gilt en 0 (n → +∞), obwohl alle en die Norm 1 haben ( en = 1) und daher die Folge {en } in H nicht gegen 0 (norm-)konvergiert. Zum Beweis betrachte man ein beliebiges Element x ∈ H. Dann gilt x = ∑∞ n=1 x|en en . Für ein beliebiges lineares stetiges Funktional x∗ auf H folgt daraus (wegen der Stetigkeit von x∗ ) die Gleichung x∗ (x) = ∞ ∑ x|en x∗ (en ). 35) = y gilt.

14 Es sei K ein abgeschlossener linearer Teilraum des Hilbert-Raumes X. 32) x − x1 = inf x − y . y∈K Der Vektor x − x1 = x2 gehört zum orthogonalen Komplement X K = K ⊥ . Der Projektionsoperator PK hat folgende Eigenschaften: PK ist linear, symmetrisch, hat (falls K = {0}) die Norm 1 (ist also ein stetiger Operator), ist itempotent und nicht expansiv. 2 Orthonormalreihen 21 Beweis: Es sind nur noch die Orthogonalzerlegung und die Eigenschaften von PK zu zeigen. 33) also ist x − PK (x) = x − x1 ∈ K ⊥ .

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