Algèbre: Chapitre 8 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

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Il existe un indice i ∈ I tel que p induise un isomorphisme de Mi sur un sous-module facteur direct de p(M). Comme p n’est pas nul, 1M − p n’est pas injectif. D’après le lemme 2, il existe un indice i ∈ I tel que p induise un isomorphisme de Mi sur un sous-module facteur direct de M. Tout projecteur de M d’image p(Mi ) définit par restriction un projecteur de p(M) d’image p(Mi ), donc p(Mi ) est un sous-module facteur direct de p(M). 31 Lemme 4. — Soient M un A-module, somme directe d’une famille (Mi )i∈I de sousmodules primordiaux, L un A-module primordial et N un sous-module facteur direct de M.

A) Pour que p(M) ⊂ q(M), il faut et il suffit que l’on ait qp = p ; pour que Ker(p) soit contenu dans Ker(q), il faut et il suffit que l’on ait qp = q. b) Pour que p + q soit un projecteur, il faut et il suffit que l’on ait pq = −qp. Si p + q est un projecteur et si dans M la relation 2x = 0 entraîne x = 0, on a pq = 0 et qp = 0. c) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) On a pq = qp ; (ii) On a q(p(M)) ⊂ p(M) et q(Ker(p)) ⊂ Ker(p) ; (iii) Il existe une suite (p1 , p2 , p3 , p4 ) de projecteurs de M deux à deux orthogonaux telle que p = p1 + p2 , q = p1 + p3 et 1M = p1 + p2 + p3 + p4 .

1). De plus, pour un module de longueur finie, il revient au même d’être indécomposable ou primordial (VIII, p. 28, prop. 4). L’assertion a) résulte alors de la prop. 3 de VIII, p. 28. Les assertions b), c) et e) découlent respectivement des corollaires 2, 5 et 3 du th. 1 de VIII, p. 29. Enfin, l’assertion d) résulte du cor. 4 de VIII, p. 32, puisque sous les hypothèses de d) le module N est de longueur finie et donc semi-primordial par a). Théorème 3. — Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre, M et N des Amodules de longueur finie.

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